ODWROTNE TWIERDZENIE PITAGORASA

TWIERDZENIE PITAGORASA

Ile rozwiązań może mieć układ równań?

Układ równań może mieć:
- jedno rozwiązanie - parę liczb np. x = 7, y = -5 i wówczas nazywamy go oznaczonym;
- nieskończenie wiele rozwiązań - np. x = y i wówczas nazywamy go nieoznaczonym;
- zero rozwiązań - np. 0x = 5 i wówczas nazywamy go sprzecznym.

Rozwiązujcie układy równań i interpretujcie otrzymane wyniki, nazywajcie układy równań.
POWODZENIA!

Jeśli chcesz dodatkowych informacji na ten temat skorzystaj z linku: 
http://www.youtube.com/watch?v=gvqVN8c2wTU

Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników

Zanim przejdziemy do omówienia nowej metody rozwiązywania układów równań chciałabym, żebyśmy przypomnieli sobie pojęcie liczb przeciwnych.
Liczbą przeciwną do +5 jest -5
Liczbą przeciwną do -3 jest +3.

Metoda przeciwnych współczynników sprowadza się do tego, żeby jedną z niewiadomych w obu równaniach poprzedzić liczbami przeciwnymi np:
+6x + 2y = 15
-6x + 3y = 25

Ale nie zawsze jest tak prosto!

Jak można stworzyć przeciwne współczynniki? Pamiętajmy, że w układzie równań mamy dwa równania. Na każdym z nich można dokonywać obustronnego mnożenia przez tę samą liczbę, podzielenia przez tę samą liczbę, odjęcia od obu stron lub dodania do nich tej samej wartości, tak aby nie zmienić wartości żadnej ze stron np:
3x + 2y = 13
2x + y = 11  to równanie pomnożymy obustronnie przez -2

3x + 2y = 13
-4x -2y = -22
Czy powstały już przy którejś niewiadomej przeciwne współczynniki? Tak, oczywiście przy niewiadomej y.
W pierwszy równaniu mamy +2 a w drugim -2.

Co dalej? Teraz dodajemy stronami oba równania i powstaje:
3x -4x +2y -2y = 13 - 22

Co nam to dało? Zobaczmy, przede wszystkim powstało równanie z jedną niewiadomą, które możemy rozwiązać:
-x = -9, czyli x = 9
Obliczyliśmy wartość jednej niewiadomej. Teraz musimy wyznaczyć wartość drugiej niewiadomej. Możemy to zrobić na dwa sposoby:
Pierwszy sposób:
Podstawiamy do dowolnego z równań wartość wyliczonej niewiadomej np.
3x + 2y = 13    x = 9, czyli
3 * 9 + 2y = 13
27 + 2y = 13   / -27
2y = 13 - 27
2y = -14 // 2
y = -7                                     Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x = 9, y = -7

Jak zauważyliście do wyliczenia drugiej niewiadomej zastosowaliśmy znaną już Wam metodę podstawiania. Ten sposób rozwiązania jest mieszanym, gdyż stosujemy w nim obie metody rozwiązywania układów równań.

Drugi sposób:
Polega na dalszym stosowaniu metody przeciwnych współczynników, tylko teraz stworzymy je dla niewiadomej x. Wróćmy do wyjściowego zapisu układu równań:
3x + 2y = 13   to równanie pomnożymy obustronnie przez 2
2x + y = 11   to równanie pomnożymy obustronnie przez -3

6x + 4y = 26
-6x -3y = -33
Teraz powstały nam przeciwne współczynniki przy niewiadomej x. Dodajemy obustronnie oba równania i otrzymujemy:
6x - 6x + 4y -3y = 26 -33
y = -7                                     Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x = 9, y = -7

W tej metodzie bazowaliśmy od początku do końca na metodzie przeciwnych współczynników.

Jeśli chcesz dodatkowych informacji na temat metody przeciwnych współczynników skorzystaj z linku:    
http://www.youtube.com/v/X62bKyp71l4?autohide=1&version=3&attribution_tag=T7WAdmjV_humwr-60sA1nA&autoplay=1&feature=share&showinfo=1&autohide=1 

Spróbuj swoich sił i czytając jeszcze raz tego posta rozwiąż na dwa sposoby układ równań:
2x + 9y = -9
-3x + 3y = 8

POWODZENIA!

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

Tę prostą metodę rozwiązywania układu równań wyjaśnię na poniższym przykładzie:
x + 2y = -2
2x - y = 1

Jak sama nazwa metody wskazuje coś gdzieś musimy podstawić, robimy to tak:
 - z pierwszego równania wyznaczamy x:    x = -2 -2y ;
 - do drugiego równania w miejsce x wstawiamy to co wyznaczyliśmy: 2(-2 -2y) -y = 1 ;
 - teraz zajmujemy się chwilowo tylko drugim równaniem z jedną niewiadomą i rozwiązujemy je:
            -4 -4y -y = 1
                 -5y = 5
                    y = -1 
 - wracamy do pierwszego równania, gdzie w miejsce y wstawiamy -1:
             x + 2 *(- 1) = -2
                   x = -2 + 2
                   x = 0
Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb: x = 0, y = -1 

Zawsze można sprawdzić otrzymane wyniki podstawiając do wyjściowego układu równań w miejsce x = 0, w miejsce y = -1. Ponieważ w obu równaniach lewa strona równa się prawej - stwierdzamy, że znaleźliśmy właściwe rozwiązanie.
Jeśli chcesz dodatkowych informacji na temat metody podstawiania skorzystaj z linku: http://www.youtube.com/watch?v=2MwHb446WkM

Przyjemnego odkrywania matematyki!

Przykład do samodzielnego rozwiązania:
2x - 2y = 7
4x + 3y = 21 

ZAGADKI DLA KLASY PIĄTEJ

Moi DRODZY,
proponuję zabawę z MATEMATYKĄ.
Ustalcie jakie cyfry należy wpisać w wolne miejsca, aby działania były prawdziwe.

             2 _ 6 _ 5                       _ 2 1                     5 _ 2 _                         
         +        _ 3 _                   -   3 _ _                  *           4                       4256 : _ = 8
                       2 1                   -----------               --------------
          ---------------                      4 7 8                 2 1 6 8 8
             _ 4 2 9 1

Udanej ZABAWY!

Wzory skróconego mnożenia

Nic prostszego, dasz radę!

Przyjrzyj się dokładnie tym trzem prostym wzorom i zobacz jak niewiele się różnią:
(a + b)²= a²+ 2ab + b²              Kwadrat sumy +
(a  - b)²= a² - 2ab + b²               Kwadrat różnicy - 

Iloczyn *  sumy + przez różnicę -            (a + b)*(a - b) = a² - b² 

Poznane wzory spróbuj zastosować do poniższych przykładów:
(3 + 5)² =                                      dla sprawdzenia (3+5)² = 8² =
(10 - 3)² =                                     dla sprawdzenia (10 - 3)² = 7² =   
(5 + 3)*(5 - 3) =                             dla sprawdzenia (5+3)*(5-3)=8*2 =


Jeśli przydała Ci się moja krótka PostLekcja, skomentuj ją!  :)